Richard Závada studierte Lauteninstrumente an der Akademie für Alte Musik der Philosophischen Fakultät der Masaryk-Universität in Brünn, am Conservatoire national supérieur de musique et de danse de Lyon sowie an der Janáček-Akademie in Brünn.

Er ist künstlerischer Leiter des Ensembles Bakchus, das sich der Interpretation mittelalterlicher Musik widmet und mit dem er mehrere hundert Konzerte in weiten Teilen Europas sowie in Japan gegeben hat. Darüber hinaus leitet er die Renaissance- und Barockprojekte Infinitas und Capella Antiqua Brunensis.

Als Interpret gastiert er regelmäßig in Ensembles wie Czech Ensemble Baroque, Capella Regia Praha, Ensemble Musica Armonia, Ensemble Tourbillon, Westminster Opera (GB), der Filharmonie Bohuslava Martinů Zlín, der Slowakischen Philharmonie, Brno Baroque, Polyfonion, Le Nuove Musiche (SK), Musica Aeterna (SK), Il Cuore Barocco (SK) und vielen anderen.

Langfristige Kooperationen verbinden ihn mit Theater, Film und Rundfunk – als Musiker auf verschiedenen Instrumenten, Schauspieler, Komponist und Arrangeur, etwa mit dem Nationaltheater Brünn, dem Theater in der Celetná (Prag), dem Theater am Vinohrady (Prag), dem Südböhmischen Theater in České Budějovice und dem Bolek-Polívka-Theater Brünn.

Er wirkte bei Filmproduktionen wie Maria Theresia, The Musketeers, Miracle Workers 2, Borgia, Die Pilgerin, Marthes Geheimnis, Die Puppenspieler, Sofia, Knightfall, Ophelia, Serpent Gift, Askeladden, Whisky Cavalier, Letter for the King und vielen weiteren mit.

Als Sänger war er außerdem an einer CD der amerikanischen Metal-Band Manowar beteiligt und spielte mittelalterliche Instrumente für das Computerspiel Kingdom Come: Deliverance ein.